Лисаков и макромир

Эллипс против параболы

При решении школьных задач по физике очень небольшому проценту учеников удается постоянно держать в голове мысль о том, что мы всегда работаем в рамках некоторой модели, которая дает разумные результаты в ограниченном диапазоне условий.

Физические модели

Вот характерный пример. Вскоре после бесчисленного количества задач на движение брошенного под углом к горизонту тела ученик девятого класса встречается с движением спутника вокруг Земли. И я всегда задаю следующий вопрос — мол, в октябре мы бросали тело под углом к горизонту, и оно двигалось по параболе. Так? Так. А сейчас у нас спутник летит вокруг Земли по окружности (или по эллипсу). Так? Так. А где тот момент, когда камень, брошенный под углом к горизонту, полетит не по параболе, а по эллипсу?

Оказывается, что момента такого нет. В самом деле, движение брошенного под углом к горизонту тела решается в рамках модели бесконечной плоской Земли. У такой Земли, разумеется, и масса бесконечно велика, и ускорение свободного падения мало того что не меняет направления, так еще и не меняет свою величину с высотой. Поэтому в такой модели тело никогда не полетит по эллипсу, а всегда по параболе.

Движение же спутника рассматривается в рамках совершенно другой модели. Тут ускорение меняет и направление, и величину.

У меня возникла идея объединить бросок под углом к горизонту с движением спутников. Получилась весьма необычная по формулировке задача. Но основная ценность задачи оказалась случайным образом в другом — получилась одна из немногих задач на второй закон Кеплера. Я довольно долго занимался олимпиадной астрономией, но сходу ни одной задачи на второй закон не вспомнил. Делитесь в комментариях, если знаете такие задачи.

Задача

Тело с поверхности однородной планеты радиусом \(R\) и массой \(M\) выстреливают под углом \(\alpha\) к горизонту с первой космической скоростью для данной планеты. Считайте, что планета лишена атмосферы и не вращается. Найдите:

  • Эксцентриситет орбиты.
  • Время движения тела.
  • Максимальное удаление тела от поверхности планеты.

Траектория и положение на ней

В первую очередь хочется разобраться, как траектория движения тела будет расположена относительно планеты.

Траектория будет иметь форму эллипса, как того требует первый закон Кеплера, а в одном из фокусов эллипса должен располагаться центр тяготения — значит, центр планеты совпадает с фокусом эллипса.

Найдем большую полуось орбиты \(a\). В принципе, из ЗСЭ ясно, что круговую скорость (направленную как угодно) тело имеет при удалении на большую полуось от фокуса. Если это не очевидно, можно поступить формально и приравнять круговую скорость к скорости в произвольной точке траектории (в нашем случае эта точка удалена на \(R\) от фокуса). Занимающимся олимпиадной астрономией эта формула известна как «интеграл энергии»:

\[ \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{GM \left(\frac{2}{R} - \frac{1}{a}\right)}\,, \]

откуда \(a = R\). Теперь вспомним, что сумма расстояний от фокусов до произвольной точки эллипса постоянна и равна \(2a\), поэтому отрезок длиной \(a\), проведенный из фокуса \(F_1\), попадает в точку пересечения эллипса с его малой полуосью. Отлично, с траекторией разобрались, можно нарисовать. Эллипс настоящий, график построен на python, можно посмотреть код.

Эксцентриситет

Эксцентриситет эллипса равен отношению фокусного расстояния к большой полуоси, \(e=c/a = OF_1/R\). Учтем, что скорость направлена по касательной к эллипсу, то есть перпендикулярна \(BD\), а горизонт направлен по касательной к планете, т.е. перпендикулярен радиусу \(BF_1\).

Тогда угол \(\angle OBF_1 = \alpha\), а \(OF_1 = R\sin{\alpha}\), поэтому эксцентриситет \(e=\sin{\alpha}\). Очень красивый результат.

Время полета

На помощь приходит второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади. Посмотрим, что он успевает замести (код графика).

Площадь эллипса \(S = \pi a b\), где \(b\) — малая полуось эллипса. Площадь закрашенного сегмента \(S^\prime = \dfrac{\pi a b}{2} + bc\). Тогда:

\[ \dfrac{T'}{T} = \dfrac{\pi a b /2 + bc}{\pi a b} \] \[ T' = T \left(\dfrac 1 2 + \dfrac{c}{\pi a} \right) \] \[ T' = \sqrt{\dfrac{4\pi^2R^3}{GM}}\left(\dfrac 1 2 + \dfrac{\sin{\alpha}}{\pi}\right) \]

Максимальное удаление тела от поверхности планеты

\[ CL = a - OL = R - (R-R\sin{\alpha}) = R\sin{\alpha} \]

Любопытно, что максимальная высота подъема равна фокусному расстоянию эллипса.