Лисаков и макромир

Про горячую воду

Однажды я услышал, что снижение температуры горячей воды из-под крана приводит в конечном итоге к тому, что потребитель платит больше. Желая разобраться с этой проблемой количественно, я придумал следующую задачку.

Василий живёт на первом этаже. За один приём душа он тратит объём горячей воды \(V_1\) и некоторое количество холодной. Температура горячей воды, текущей из крана, равна \(T_1\), а температура холодной равна \(T_2\). Однажды Василий решил принять душ у соседа, живущего на 5 этаже. Оказалось, что температура горячей воды, текущей из крана на 5 этаже, составляет \(\alpha T_1\) (где \(0<\alpha<1\) — известный безразмерный коэффициент). Сколько горячей воды потратит Василий на приём душа на 5 этаже?

Очевидно, человеку для приёма душа нужна смесь конкретного объёма и конкретной температуры. Если снизить температуру горячей воды, то её доля в смеси станет больше. Поскольку горячая вода дороже, то и стоимость необходимой смеси станет больше. Иными словами,

V= V_1 + V_2 = V_1^\prime + V_2^\prime

$$ T = T^\prime $$

где \(T\) — температура смеси, индекс «1» соответствует горячей воде, индекс «2» — холодной, а штрихами обозначены величины, относящиеся к ситуации с уменьшенной температурой горячей воды (т.е. на пятом этаже).

Выразим температуру \(T\) смеси в первом случае, записав уравнение теплового баланса, обозначив за \(c\) и \(\rho\) удельную теплоёмкость и плотность воды, полагая их одинаковыми для холодной и горячей воды (что, конечно, не вполне верно).

$$ c\rho V_1 (T-T_1) + c\rho V_2 (T-T_2) = 0 $$

Отсюда

$$ T = \dfrac{V_1 T_1 + V_2 T_2}{V_1 + V_2} $$ Аналогично найдём

$$ T^\prime = \dfrac{V_1^\prime \alpha T_1 + V_2^\prime T_2}{V_1^\prime + V_2^\prime} $$

Поскольку \(T=T^\prime\) (Василию нужна конкретная температура смеси), приравняем правые части уравнений:

$$ \dfrac{V_1 T_1 + V_2 T_2}{V_1 + V_2} = \dfrac{\alpha V_1 T_1 + V_2^\prime T_2}{V_1^\prime + V_2^\prime} $$

Знаменатели, согласно уравнению 1, равны, поэтому

V_1 T_1 + V_2 T_2 = \alpha V_1 T_1 + V_2^\prime T_2

Выразим из уравнения 1 \(V_2 = V_1^\prime + V_2^\prime - V_1 \) и подставим в уравнение 2. Раскрыв скобки, увидим, что содержащие \(V_2^\prime\) слагаемые взаимно уничтожатся, после чего без труда найдём искомый новый объём горячей воды в смеси:

V_1^\prime = V_1 \cdot \dfrac{T_1 - T_2}{\alpha T_1 - T_2}

Оценим, на сколько рублей больше будет платить Василий, если вместо минимальных 60 градусов его горячая вода вытекает с температурой 50. Примем стоимость одного кубометра холодной воды за 40₽, а горячей — за 200₽ (соответствует расценкам в Москве на 2019 год). Ещё отвод воды обойдётся в 30₽ за кубометр. Температуру холодной примем за 10 градусов.

При положенных 60 градусах семья Василия тратит 10 кубометров холодной воды и 5 кубометров горячей, то есть 2650₽ с учётом отвода воды.

Тогда при снижении температуры горячей воды до 50 градусов (т.е. коэффициент \(\alpha = 5/6\)) получим из уравнения 3, что объём горячей воды станет равен 12,5 кубометров вместо 10. А это значит, что потребляя те же 15 кубометров смеси той же самой температуры, платить семья станет 3050₽.