Про горячую воду

30 декабря 2019. Комментарии .

Однажды я услышал, что снижение температуры горячей воды из-под крана приводит в конечном итоге к тому, что потребитель платит больше. Желая разобраться с этой проблемой количественно, я придумал следующую задачку.

Василий живёт на первом этаже. За один приём душа он тратит объём горячей воды и некоторое количество холодной. Температура горячей воды, текущей из крана, равна , а температура холодной равна . Однажды Василий решил принять душ у соседа, живущего на 5 этаже. Оказалось, что температура горячей воды, текущей из крана на 5 этаже, составляет (где — известный безразмерный коэффициент). Сколько горячей воды потратит Василий на приём душа на 5 этаже?

Очевидно, человеку для приёма душа нужна смесь конкретного объёма и конкретной температуры. Если снизить температуру горячей воды, то её доля в смеси станет больше. Поскольку горячая вода дороже, то и стоимость необходимой смеси станет больше. Иными словами,

где — температура смеси, индекс «1» соответствует горячей воде, индекс «2» — холодной, а штрихами обозначены величины, относящиеся к ситуации с уменьшенной температурой горячей воды (т.е. на пятом этаже).

Выразим температуру смеси в первом случае, записав уравнение теплового баланса, обозначив за и удельную теплоёмкость и плотность воды, полагая их одинаковыми для холодной и горячей воды (что, конечно, не вполне верно).

Отсюда

Аналогично найдём

Поскольку (Василию нужна конкретная температура смеси), приравняем правые части уравнений:

Знаменатели, согласно уравнению , равны, поэтому

Выразим из уравнения и подставим в уравнение . Раскрыв скобки, увидим, что содержащие слагаемые взаимно уничтожатся, после чего без труда найдём искомый новый объём горячей воды в смеси:

Оценим, на сколько рублей больше будет платить Василий, если вместо минимальных 60 градусов его горячая вода вытекает с температурой 50. Примем стоимость одного кубометра холодной воды за 40₽, а горячей — за 200₽ (соответствует расценкам в Москве на 2019 год). Ещё отвод воды обойдётся в 30₽ за кубометр. Температуру холодной примем за 10 градусов.

При положенных 60 градусах семья Василия тратит 10 кубометров холодной воды и 5 кубометров горячей, то есть 2650₽ с учётом отвода воды.

Тогда при снижении температуры горячей воды до 50 градусов (т.е. коэффициент ) получим из уравнения , что объём горячей воды станет равен 12,5 кубометров вместо 10. А это значит, что потребляя те же 15 кубометров смеси той же самой температуры, платить семья станет 3050₽.